Wie verhalten sich Moleküle?

• Auf molekularer Ebene kann man sogenanntes deterministisches Chaos beobachten. Jede kleinste Störung eines Moleküls führt zu einem divergierenden Verhalten dieses Moleküls, dies ist eine so genannte Lyapunov-Instabilität. Infolgedessen ist es praktisch unmöglich, das Verhalten eines Systems mit hinreichender Genauigkeit über eine mittlere Zeitspanne vorherzusagen, da die Startbedingungen des Systems mit einer Genauigkeit definiert werden müssten, die mit zunehmender Vorhersagezeit schnell zunimmt.

• Werden die Wechselwirkungen zwischen den Partikeln in die Überlegungen einbezogen, veschärft sich die Situation erheblich. Es stellt sich heraus, dass Wechselwirkungen auch mit den entferntesten Teilchen das Verhalten eines beobachteten Teilchens nach maximal 33ps (33 mal ein Millionstel einer Millionstelsekunde) beeinflussen. Die Konsequenz ist eine vollständige Zufälligkeit des Molekülverhaltens nach spätestens dieser kurzen Zeit. Außerdem umfasst der zu berücksichtigende Bereich alle Partikel innerhalb des beobachtbaren Universums und ihr Verhalten seit dem Urknall. Es existiert also ein hochvernetztes und schnell reagierendes Netzwerk von Wechselwirkungen zwischen allen Teilchen im Universum. Auf molekularer Ebene kann das Verhalten daher nur als nicht vorhersagbar und zufällig angesehen werden. Da Lyapunov-Instabilitäten grundsätzlich in ausreichend komplexen Systemen beobachtet werden, bei denen formal die Wechselwirkungen rückkoppeln, ist in vielen anderen Systemen ein entsprechendes Verhalten zu erwarten.

• Schließlich kann als Nebengedanke die Richtung der Zeit betrachtet werden. Während die meisten physikalischen Gesetze invariant gegenüber einer Umkehrung der Richtung der Zeit sind, sind es die Ausgangsbedingungen nicht. In Vorwärtsrichtung der Zeit können die Anfangsbedingungen beliebig gewählt werden. Sobald mehr als 33ps betrachtet werden sollen, müssten in rückwärtiger Richtung der Zeit die Anfangsbedingungen für das betrachtete Beispiel die Bedingung erfüllen, dass sich alle Wechselwirkungen in der Zeit richtig und konsistent bis zum Urknall zurückentwickeln lassen. Diese Bedingung zu erfüllen kann für eine allgemeine Anfangssituation nicht gelingen. Die Richtung der Zeit ist also keine Frage der physikalischen Gesetze, sondern eine zur Festlegung der Anfangsbedingungen. Die Frage nach der Richtung der Zeit bezieht sich natürlich nur auf unsere Beschreibung der Realität und nicht unbedingt auf die Realität selbst.

• Diese Überlegungen gehen von einem völlig deterministischen Weltbild aus, d.h. eine gegebene Ausgangssituation führt mit den exakten physikalischen Gesetzen zu einer unvermeidlichen und eindeutig festgelegten Entwicklung in der Zukunft, die ausschließlich durch die physikalischen Gesetze und die Anfangsbedingungen definiert ist.

Die hier vorgestellte Diskussion wurde größtenteils bereits veröffentlicht als:
Pfennig, A.: On the strong influence of molecular interactions over large distances.
Eur. Phys. J. D (2018) 72: 45. https://doi.org/10.1140/epjd/e2017-80293-4.

Moleküle, deren Verhalten mit einem Computer simuliert und ausgewertet wurde, zeigen sogenanntes deterministisches Chaos. Dies ist so definiert, dass jede kleinste Störung eines der Moleküle zu einer exponentiell zunehmenden Abweichung der Position dieses Moleküls im Vergleich zu dem Fall führt, in dem die Störung nicht eingebracht wurde. Um dieses exponentiell ansteigende Verhalten genau auszuwerten, wurden für flüssiges Wasser bei 37°C Simulationen durchgeführt, die den Weg von Molekülen verfolgen, indem sie die zwischen ihnen wirkenden Kräfte auswerten und dann die Newtonsche Bewegungsgleichung lösen. Eine Simulation wurde ohne eine Störung durchgeführt, in einer zweiten Simulation wurde die Position eines einzelnen Wassermoleküls zu einem definierten Zeitpunkt um einen kleinen Betrag verschoben und der folgende Pfad des Moleküls festgehalten. Vergleicht man die Bahnen der Moleküle in beiden Simulationen, ihre sogenannten Trajektorien, so lässt sich die kontinuierliche Zunahme der Abweichung der Positionen des beobachteten Moleküls wie in Abbildung 1 dargestellt ermitteln. Aus der logarithmischen Skalierung der vertikalen Achse und dem dann fast linearen Verhalten als Funktion der Zeit ist ersichtlich, dass tatsächlich eine exponentielle Zunahme der Positionsabweichung beobachtet wird. Die beiden verglichenen Simulationen divergieren exponentiell. Durch den Vergleich des Bahnverhaltens für verschiedene Anfangsstörungen sowie für unterschiedliche Simulationsparameter wie Integrationsschritt und Systemgröße kann gezeigt werden, dass dieses Verhalten für das System als solches charakteristisch ist und nicht nur durch den verwendeten spezifischen Simulationsalgorithmus verursacht wird. Diese Divergenz begründet das deterministische Chaos und entspricht einer sogenannten Lyapunov-Instabilität. Die quantitative Auswertung zeigt, dass die Positionsabweichung alle 0,23ps um den Faktor 10 zunimmt (ps = Picosekunde = der millionste Teil des Millionstelteils einer Sekunde). Dieser Effekt wird als deterministisches Chaos bezeichnet, da alle Gleichungen, die das Systemverhalten beschreiben, genau definiert sind und im Prinzip eine Vorhersage des molekularen Verhaltens ermöglichen. Würden die Startbedingungen genau definiert, wäre das Systemverhalten in eine beliebig weite Zukunft genau bestimmt. Das Verhalten ist chaotisch, denn der Effekt der anfänglichen Störung führt zu völlig zufälligen Ergebnissen, wie in Abbildung 2 zu sehen ist, wo die Bahnen von Molekülen gezeigt sind, die sehr kleine Unterschiede in der Störung erfahren haben. Schnell ist ihre Bewegungsrichtung völlig unterschiedlich.

 Abbildung 1: Abweichung in der Position eines Wassermoleküls in flüssigem Wasser bei 37°C nach anfänglichen Verschiebungen dieses Wassermoleküls um unterschiedlicher Beträge (reproduziert nach Pfennig, A. Eur. Phys. J. D (2018) 72: 45. https://doi.org/10.1140/epjd/e2017-80293-4)

Abbildung 2: Zufällige Orientierung der molekularen Pfade, wenn an der Startposition leicht unterschiedliche Störungen eingebracht werden (reproduziert nach Pfennig, A. Eur. Phys. J. D (2018) 72: 45. https://doi.org/10.1140/epjd/e2017-80293-4)

Wenn es darum geht, das molekulare Verhalten über einen längeren Zeitraum vorherzusagen, würde jede Ungenauigkeit bei der Definition der Ausgangsbedingungen der Moleküle in Bezug auf ihre Position und Geschwindigkeit exponentiell genau mit dieser Rate zunehmen. Damit würde sich die erforderliche Genauigkeit bei der Definition der Startpositionen und -geschwindigkeiten entsprechend schnell erhöhen, wenn die Zeit, über die die Vorhersage erfolgen soll, zunehmen würde. Für jede weitere 0,23ps in die Zukunft müssten die Startbedingungen um eine weitere Dezimalstelle genauer angegeben werden. Für eine Vorhersage über nur 33ps - wo es erst später offensichtlich wird, warum genau diese Zeit gewählt wird - wäre eine Genauigkeit von fast 145 Dezimalstellen erforderlich. Offensichtlich müssten auch die Berechnungen mit dieser Genauigkeit durchgeführt werden. Natürlich ist dies nur eine praktische Undurchführbarkeit, im Prinzip würde eine weitere Erhöhung der Genauigkeit es ermöglichen, die Vorhersagezeit beliebig zu verlängern. Dennoch wird die Vorhersage bereits bei relativ kurzen Vorhersagezeiten praktisch undurchführbar. In der Chaostheorie wird dieser Effekt typischerweise so ausgedrückt, dass es praktisch nicht möglich ist, das molekulare Verhalten über eine mittlere Zeitspanne hinaus vorherzusagen.

Eine weitere Implikation dieses deterministischen Chaos wird offensichtlich, wenn der Einfluss eines weit entfernten beeinflussenden Moleküls auf ein System von Flüssigkeits-Molekülen beobachtet wird. Der Einfachheit halber werden nur Gravitations-Wechselwirkungen betrachtet, wodurch Quanteneffekte vermieden werden. Je weiter das beeinflussende Molekül vom beobachteten System des flüssigen Wassers entfernt ist, desto geringer ist die Wechselwirkungskraft. Dennoch führt auch diese geringe Wechselwirkungskraft zu einer Positionsverschiebung des beobachteten Wassermoleküls. Diese Verschiebung wird wiederum exponentiell zunehmen, entsprechend dem oben beschriebenen deterministischen Chaos. Dann kann man sich die Frage stellen, wie lange es dauert, bis eine Wechselwirkung mit einem beeinflussenden Molekül das beobachtete Molekül bis zu einem bestimmten Grad beeinflusst, z.B. bis eine Verschiebung in der Position des beobachteten Moleküls offensichtlich ist. Eine solche Verschiebung ist offensichtlich, wenn sie in der Größenordnung eines molekularen Durchmessers liegt, denn dann entspricht die Verschiebung einer sogenannten Bifurkation. Entscheidet sich ein Molekül beispielsweise, ob es sich links oder rechts an einem benachbarten Molekül vorbeibewegt, so liegt die Differenz dieser Position in der Größenordnung eines molekularen Durchmessers und der Unterschied im zukünftigen molekularen Weg entspricht einer solchen Bifurkation. Das Molekül entscheidet (gabelt) zwischen den beiden Optionen, welche die Bifurkation ausmachen. Die Zeit bis zu dieser Bifurkation hängt natürlich von der Entfernung zwischen dem beeinflussenden und dem beobachteten Molekül ab. Diese Abhängigkeit ist in Abbildung 3 dargestellt.

Abbildung 3: Wie lange dauert es, bis eine Wechselwirkung zwischen einem entfernten Molekül und einem beobachteten Wassermolekül im Wasserglas auf dem Tisch zu einer Verschiebung um einen Moleküldurchmesser führt, was einer Bifurkation entspricht? (reproduziert nach Pfennig, A. Eur. Phys. J. D (2018) 72: 45. https://doi.org/10.1140/epjd/e2017-80293-4)

Tatsächlich wird die Interaktion mit benachbarten Wassermolekülen im beobachteten System, die als ein Glas Wasser auf einem Tisch visualisiert werden können, sehr ähnlich sein, da ihr Abstand zum fernen Molekül nahezu identisch ist. Das deterministische Chaos wird nur durch die Kraftdifferenz ausgelöst, die auf die benachbarten Moleküle wirkt. Berücksichtigt man nur diese Kraftdifferenz, so ist der Effekt ebenfalls in Abbildung 3 dargestellt, bezeichnet mit "Delta-Gravitation".

Es ist offensichtlich, dass je weiter entfernt das wechselwirkende Molekül ist, es desto länger dauert, bis die Bifurkation auftritt. Es ist jedoch interessant zu beobachten, dass die Gesamtzeit auch bei großen Entfernungen gering ist. Selbst wenn die Wechselwirkung von einem Molekül am Ende des beobachtbaren Universums ausgeht, dauert es nur 33ps! Das ist 33 mal ein Millionstel einer Millionstelsekunde. Natürlich muss die Laufzeit dieser Wechselwirkung berücksichtigt werden. Daher ist diejenige Wechselwirkung mit einem weit entfernten Molekül zu berücksichtigen, die im Wasserglas momentan am beobachteten Molekül gerade ankommt, die aber viel früher 'ausgesendet' wurde. Relevant sind also die Wechselwirkungen mit den Molekülen, wie sie eine entsprechende Zeitspanne früher existierten. Für die Gravitation wird heute angenommen, dass sie sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Betrachtet man als Beispiel ein Wassermolekül auf dem Mond, bei dem das Licht etwas mehr als eine Sekunde braucht, um uns zu erreichen, so treten die Wechselwirkungen der Moleküle im Wasserglas mit dem Mond-Wassermolekül auf, wie es vor etwas mehr als einer Sekunde existierte. Sobald diese Wechselwirkung beim Wasserglas ankommt, führt die Reaktion des beobachteten Wassermoleküls bereits nach etwa 20ps zu einer Bifurkation. Betrachtet man im Extremfall ein Molekül am Ende des beobachtbaren Universums, das als der Horizont definiert ist, der dem Urknall entspricht, dann ist die Wechselwirkung seit dem Urknall gereist, aber wenn sie erst einmal im Glas Wasser angekommen ist, dauert die molekulare Reaktion nur 33ps.

Die Wechselwirkungen können somit wie folgt ausgedrückt werden:

• Alle Teilchen im Universum senden ständig und in alle Richtungen die Informationen, die für ihre Wechselwirkungen mit anderen Molekülen relevant sind. Diese Information breitet sich maximal mit Lichtgeschwindigkeit aus.
• Alle Teilchen im Universum erhalten diese Informationen und reagieren auf die resultierende Gesamtkraft.
• Nach maximal 33ps hat jede einzelne Wechselwirkung das betrachtete Teilchen so beeinflusst, das dies einer Bifurkation entspricht. Beeinflussende Moleküle, die näher sind, haben einen schnelleren Einfluss.

Dies gilt auch trotz der unermesslichen Zahl wechselwirkender Teilchen, denn die Wechselwirkungen aller Teilchen werden linear überlagert. Wenn also ein einzelnes Teilchen am Ende des beobachtbaren Universums nicht vorhanden oder an einem etwas anderen Ort wäre, würde sich das Verhalten eines beobachteten Teilchens bereits nach nur 33ps um einen molekularen Durchmesser unterscheiden, nachdem diese Wechselwirkung bei dem beobachteten Teilchen angekommen ist. So erfahren alle Teilchen ein hochvernetztes Netzwerk von Wechselwirkungen, in dem jedes einzelne Teilchen relevant ist und jedes Teilchenschnell auf die extrem feine Mikrostruktur der wirkenden Kräfte reagiert. Dies beschreibt die Wechselwirkungen, wie sie existieren, und ist nicht nur eine Aussage über die Praktikabilität einer Vorhersage, wie sie wie oben beschrieben typischerweise in der Chaostheorie formuliert wird.

Die 33ps sind hier als Maximum zu betrachten, denn in den Simulationen, auf denen diese Auswertung basiert, wurden starre Wassermoleküle angenommen. Es ist zu erwarten, dass die Zeitskala deutlich um Größenordnungen kürzer wird, wenn man Freiheitsgrade in die Betrachtung mit einbezieht, die höhere Frequenzen aufweisen wie die intramolekularen Schwingungen oder Bewegungen von Elementarteilchen innerhalb des Moleküls.

Werden die Wechselwirkungen zwischen Teilchen berücksichtigt, kann die Frage erneut betrachtet werden, was es bedeutet, wenn das Verhalten eines Systems über 33ps vorhergesagt werden soll. In diesem Fall müssten alle Wechselwirkungen mit allen Teilchen im beobachtbaren Universum berücksichtigt werden, die in dieser Zeitspanne gerade eintreffen. Das bedeutet, dass die entferntesten Partikel an den Positionen berücksichtigt werden müssen, die sie zu Zeiten des Urknalls hatten. Es muss also das Verhalten aller Teilchen seit dem Urknall bis heute in allen Details beschrieben werden. Dies ist natürlich viel anspruchsvoller, als die aus der Chaostheorie resultierende Forderung, die Simulation für die 33ps mit 145 signifikanten Stellen durchzuführen. Die Wechselwirkungen zwischen den Partikeln machen somit eine Vorhersage auch für sehr kurze Zeiträume grundsätzlich unmöglich. Auch diese Aussage ist damit viel stärker als das, was typischerweise im Rahmen der Chaostheorie formuliert wird.

Deterministisches Chaos entsteht nicht nur auf molekularer Ebene. Jedes System, das ausreichend komplex ist und insbesondere Feedbackschleifen beinhaltet, zeigt Lyapunovs Instabilität. Auf molekularer Ebene resultiert das Feedback aus Molekülen, die mit Molekülen wechselwirken, mit denen sie kurz zuvor zusammengestoßen sind oder interagiert haben und die so aufeinander reagieren. Es ist daher zu erwarten, dass die hier beschriebenen Effekte auch für eine Vielzahl anderer Systeme auf verschiedenen Skalen gelten, wenn sie ausreichend komplex sind und insbesondere entsprechende Rückkoppelungsschleifen aufweisen.

Als Anmerkung sei hinzugefügt, dass dies auch erhebliche Auswirkungen auf den Zeitpfeil hat. In der Physik hat sich gezeigt, dass in fast allen physikalischen Gesetzen die Richtung der Zeit umgekehrt werden kann und das System dann identisch rückwärts abläuft. Dann stellt sich die Frage, warum die Zeit in Vorwärtsrichtung und nicht in Rückwärtsrichtung läuft, also warum die Realität sich entschieden hat, zeitlich vorwärts zu laufen. Popper erkannte bereits, dass bei einer Zeitumkehr alle Wellen sehr genau rückwärts laufen müssten, um sich schließlich zu einem einzigen Punkt zusammenzuziehen, der mit dem Ereignis zusammenfällt, das die Wellen auslöst (Popper, Karl R. 1956. The Arrow of Time. Nature 177, 538). Aus den vorliegenden Überlegungen kann die Aussage wesentlich verschärft werden. Wenn es beabsichtigt wäre, irgendwann die Zeit umzukehren, würde die Betrachtung des zeitlich umgekehrten Systems für nur 33ps erfordern, dass alle Teilchen überall im beobachtbaren Universum seit dem Urknall berücksichtigt werden müssten, und alle ihre Wechselwirkungen müssten sehr genau rückwärts ablaufen, so dass die Einflüsse auf die Positionen der Teilchen kontrahieren, von denen sie in Vorwärtsrichtung ausgingen. Diese Forderung nach Umkehrbarkeit bis zum Urknall für die Zeitumkehr nur um 33ps ist natürlich wieder eine viel stärkere Aussage.

Dies zeigt, dass es zwar den physikalischen Gesetze egal ist in welcher Richtung die Zeit abläuft, den Anfangsbedingungen aber nicht. In der vorwärts gerichteten Zeit steht es einem frei, die Ausgangsbedingungen willkürlich zu definieren. In der rückwärts gerichteten Zeit müssten die Ausgangsbedingungen so gewählt werden, dass sich das gesamte Netzwerk der Wechselwirkungen korrekt verhält, was grundsätzlich unmöglich ist. Eine Umkehrung wäre also nur von einem System aus möglich, das sich zuvor in Vorwärtsrichtung entwickelt hat, womit die Rückwärtsrichtung der Zeit nicht die Primärrichtung ist. Es sollte klar gesagt werden, dass sich diese Überlegungen nur auf die physikalischen Gesetze beziehen und nicht notwendigerweise auf die Realität selbst. Wie bereits Ernst Mach sagte: "Die Natur ist nur einmal da." (Ernst Mach: Die Mechanik in ihrer Entwickelung - historisch-kritisch dargestellt. 3. Auflage, 1897, F.A. Brockhaus, Leipzig) Die Natur kümmert sich also nicht um die Eigenarten unserer physischen Beschreibung.

Schließlich muss klar sein, dass das hier beschriebene Bild von einem völlig deterministischen Weltbild ausgeht. Das bedeutet, dass eine gegebene Ausgangssituation mit den exakten physikalischen Gesetzen zu einer unvermeidlichen und eindeutigen zukünftigen Entwicklung führt, die ausschließlich durch die physikalischen Gesetze und die Ausgangsbedingungen definiert wird. So verhält sich entweder die Realität wie beschrieben oder die physikalischen deterministischen Gesetze beschreiben die Realität nicht richtig. Natürlich wird auf Quantenebene typischerweise ein nicht-deterministisches Verhalten angenommen. Leider hat sich gezeigt, dass auch Quantensysteme Lyapunov-Instabilitäten durchlaufen. Damit gelten die Konsequenzen auch für die Quantenwelt. Schließlich stellt sich die Frage, ob die für die Quantenwelt üblicherweise angenommene Stochastik nicht tatsächlich durch die hier beschriebenen Effekte induziert wird, während sich die eigentlichen Quantenelemente deterministisch verhalten, was aufgrund der Kleinheit der Quantenelemente im Experiment lediglich nicht beobachtet werden kann.